分数布朗运动-aducm360硬件工程师开发手册，纯中文版

尽管布朗运动具有中心理论的重要性，但对于其他多种目的来说，它的局限性是太大了。布朗样本函数图的维数几乎必然等于1，但是，为了模拟各种不同的模2型，还需要有相应的函数图具有其他维数的随机函数。布朗运动 (X: [0，∞]→ R) 是高斯过程(Gaussian process)，这意味着对 (t_0 \leq t_1 \leq t_2 \leq…\leq t_m) 和系数 (\lambda_1，…， \lambda_m)，随机变量 (\lambda_1 X(t_1) +… +\lambda_m X(t_m)) 也是正态变量(称 ((X (t_1)，… ， X(t_m))) 是多元正态变量(multivariate normal))。布朗运动具有平稳的独立增量，且具有有限方差，实际上它是唯一具有这种概率分布的函数。为了得到不同特征的样本函数，需要放宽一个或多个上述条件。通常有两种变化: 分数布朗运动的增量是服从正态分布的但不再是相互独立的;而另一方面，Lévy 过程取消了要求是正态分布的条件，并由此可以得出不连续的函数。为了简单起见，这里仅讨论这些过程在1维情形下的图，对取值在n维空间的相应过程也可以类似地定义。

指数为 (\alpha (0 <\alpha< 1)) 的分数布朗运动，是定义在某概率空间上的一高斯过程 (X: [0，∞]→ R)，使得 (FBM) ( (i) X(t) ) 以概率1连续，且 (X(0) = 0)，(ii) 对任意 (t \geq 0) 和 (h > 0)，增量 (X(t + h) - X(t)) 正态分布，均值为零，方差为 (h^{2\alpha})，其概率密度函数为:

[ P(X(t + h) - X(t) \leq x) = (2\pi)^{-1/2}h^{-\alpha} \int_{-\infty}^x \exp(-u^2/2h^{2\alpha})du ]

可以证明，对 (0 < \alpha < 1)，满足 (FBM) 条件的过程是存在的。图16.3 给出了不同 (\alpha) 值的分数布朗运动的图。上面的定义蕴含增量 (X(t + h) - X(t)) 是平稳的，即它们具有不依赖于 (t) 的概率分布。然而，除去 (\alpha = 1/2) 的布朗情形，由 (FBM) 给定的函数的分布不能有独立的增量。由条件 (i) 和 (ii) 可知，

[ E(X(t))^2 = t^{2\alpha} ]

并且

[ E ((X(t + h) - X(t))^2) = h^{2\alpha} ]

因此可以证明：

[ E(X(t)X(h)) = \frac{1}{2}(t^{2\alpha} + h^{2\alpha} - |t - h|^{2\alpha}) ]

对于进一步了解高斯过程和布朗运动的特征函数的证明，可以参考正态分布即高斯函数积分和高斯函数的特征函数的证明。如果你对布朗运动的仿真感兴趣，可以看看随机过程布朗运动仿真程序和随机过程布朗运动matlab仿真程序。