分形分析-aducm360硬件工程师开发手册，纯中文版

在分形分析中，精细多重分形分析主要通过局部维数或Hölder指数来确定测度的分形特性。设μ是定义在Rn上的测度，满足<μ(Rn) <∞。定义μ在点Z处的局部维数或Hölder指数为

[ \lim_{r \to 0} \frac{\ln \mu(B(x, r))}{\ln r} = \alpha ]

如果这个极限存在的话（更一般地，可以通过计算上局部极限和下局部极限来计算上局部维数和下局部维数，这里对此不深入讨论）。研究局部维数取特殊值的那些点Z εRn组成的集合。给定α注0，定义

[ F_{\alpha} = {x \epsilon R^n : \dim_{loc}\mu(x) = \alpha } ]

因此，Fα包含了那些局部维数存在且等于α的点。在精细多重分形分析中，主要目的是在α的一定范围内求出Fα的维数。在大部分令人感兴趣的例子中，Fα在μ的支撑上是稠密的;因此，由命题3.4可得

[ \dim_B F_{\alpha} = \dim_B (spt \mu) ]

类似地，对于上盒维数相应的等式同样成立，可以看出，在区别Fα上，盒维数几乎不起作用。所以，转而要关注的是由式

[ f_H (\alpha) = \dim_H F_{\alpha} ]

定义的μ的精细(豪斯多夫)多重分形谱或奇异谱。显然，对任意的α ≠ 0，运

[ f_H(\alpha) \leq \dim_H(spt \mu) ]

成立，并且根据命题4.9(b)有

[ 0 \leq f_H (\alpha) \leq \alpha ]

在康托尔集F中的点编码中，假设Z位于康托尔集构造中第k步时的左边子区间上，则ik = 1；如果位于右边的子区间上，则ik = 2。用nj(xlk) ， j = 1 ， 2表示Z的编码序列前k位数中数j出现的次数，则有

[ \mu(B(x, 3^{-k})) = d1(z|k)pp(z|k) ]

更多关于多重分形维数的内容，请参考文献 多重分形维数 和 论文研究基于Zordering的多重分形维数及多重分形谱算法，这些链接提供了丰富的信息，使得您可以深入了解相关概念和算法实现。