leetcode卡 prisonCells 监狱牢房

【监狱牢房问题】是LeetCode上的一道经典算法题，主要考察的是状态转移和动态规划的概念。题目描述如下：有一个长度为N的监狱，每个牢房被编号为0到N-1。最初，所有牢房都是关闭的，然后监狱会按照一定的规则打开或关闭这些牢房。规则如下：在第k天，所有编号为k的倍数的牢房（包括0和k本身）都会改变其状态，如果原本是关闭的，则变为打开，如果原本是打开的，则变为关闭。求在经过n天后，所有牢房的状态。解决这个问题的关键在于理解动态规划的状态定义和状态转移方程。我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示经过i天后，编号为j的牢房的状态。初始状态dp[0][j]为0，表示所有牢房最初都是关闭的。动态规划的状态转移发生在每一天，我们需要遍历0到n-1的每一天，并根据规则更新牢房的状态。对于第i天，我们需要检查所有编号为i的倍数的牢房。对于每个j，如果j能被i整除，那么牢房j的状态将在当前状态的基础上取反，因为牢房的状态每两天会反转一次。状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + i) % 2。例如，如果n=7，牢房编号为0到6。在第1天，只有牢房0的状态会改变；在第2天，牢房0和2的状态会改变；在第3天，牢房0、3的状态会改变，以此类推。到第7天，所有牢房都至少被访问过一次，因此最终状态与第1天相同，都是关闭的。解决这个问题的代码可以使用Python编写，如下： ```python def prisonAfterNDays(cells, N): if N == 1: return cells dp = {i: cells for i in range(N)} for i in range(2, N+1): new_cells = [0] * 8 for j in range(1, 7): if (i + j) % 8 == 0 or (i - j + 8) % 8 == 0: new_cells[j] = 1 - new_cells[j] dp[i] = new_cells key = (cells, N) while N > 1: N %= (N - dp[key]) key = (dp[key], N) return dp[key] ```在这个代码中，我们首先初始化一个dp字典，存储每一天的牢房状态。然后，从第二天开始，遍历每一天，更新牢房状态。通过寻找周期来确定N天后的状态，以避免不必要的计算。这个问题的解法涉及到了动态规划、状态转移、模运算以及可能的周期性搜索。它是一个很好的练习，可以帮助我们理解如何用算法高效地处理复杂问题。在实际编程中，这样的技巧常常用于解决各种有规律可循的序列问题。