把变换前后的变量都看成复数的形式-数据分析方法梅长林

二、把变换前后的变量都看成复数的形式

复数形式傅立叶变换把原始信号x[n]当成是一个用复数来表示的信号，其中实数部分表示原始信号值，虚数部分为0，变换结果X[k]也是个复数的形式，但这里的虚数部分是有值的。在这里要用复数的观点来看原始信号，是理解复数形式傅立叶变换的关键（如果有学过复变函数则可能更好理解，即把x[n]看成是一个复数变量，然后象对待实数那样对这个复数变量进行相同的变换）。

三、对复数进行相关性算法（正向傅立叶变换）

从实数傅立叶变换中可以知道，我们可以通过原始信号乘以一个正交函数形式的信号，然后进行求总和，最后就能得到这个原始信号所包含的正交函数信号的分量。现在我们的原始信号变成了复数，我们要得到的当然是复数的信号分量，我们是不是可以把它乘以一个复数形式的正交函数呢？答案是肯定的，正余弦函数都是正交函数，变成如下形式的复数后，仍旧还是正交函数（这个从正交函数的定义可以很容易得到证明）： cos x + j sin x, cos x – j sin x，……这里我们采用上面的第二个式子进行相关性求和，为什么用第二个式子呢? 我们在后面会知道，正弦函数在虚数中变换后得到的是负的正弦函数，这里我们再加上一个负号，使得最后的得到的是正的正弦波。

根据这个于是我们很容易就可以得到了复数形式的DFT正向变换等式：这个式子很容易可以得到欧拉变换式子：其实我们是为了表达上的方便才用到欧拉变换式，在解决问题时我们还是较多地用到正余弦表达式。

对于上面的等式，我们要清楚如下几个方面（也是区别于实数DFT的地方）： 1、X[k]、x[n]都是复数，但x[n]的虚数部分都是由0组成的，实数部分表示原始信号。

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